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Resumen del Modelo de Rasch

Mayo 15, 2008

En 1960 George Rasch propuso un modelo de medida que permite solventar muchas de las deficiencias de la Teoría Clásica del Test y construir pruebas mucho más adecuadas y eficientes. El modelo de Rasch es uniparamétrico, cuyo parámetro de medición está ligado al número de respuestas. Este parámetro corresponde, con una sola dimensión relativa en la que se puede medir el desempeño de la persona (habilidad, conocimientos, etc.) y la calidad de un ítem (relacionada con la dificultad). Existe una ventaja en usar una sola escala para los ítems y para las personas, y es que ambos pueden compararse directamente en dicha escala. Es un modelo de contraste: ya que define una curva de propiedades y características deseables para los ítems, contra la cual se contrastan los puntos observados.

La unidad de medida en este modelo es el “logit”, la cual tiene como características principales: una escala sin extremos, centrada en el valor cero y es lineal. Esta medida permite tomar en cuenta tanto el éxito como el fracaso en una sola medida.

La medida o habilidad de una persona sobre un tema evaluado, en logitos se define: \theta_\nu = Ln(p_{nk}/q_{nk}), donde, p_{nk}: Probabilidad de aciertos de la persona n referida al origen k, y q_{nk}= (1-p_{nk}): Probabilidad de falla en la misma pregunta. Así el modelo de Rasch se define como:

Ln(p_{ni}/q_{ni}) = \theta_{\nu}-\beta_i o equivalentemente P_i(\theta_\nu) = \frac{\exp{ (\theta_\nu - \beta_i)}}{1+\exp{(\theta_\nu - \beta_i)}}

Obviamente, el modelo de Rasch es probabilista y elimina el problema de la métrica que se tiene en las medidas tradicionales (porcentajes de aciertos, número de ítems correctos, etc.). Se trata de una métrica lineal, donde una distancia del lógito indica una unidad, independientemente de la posición en la cual se encuentre una persona o un ítem. Detecta y cuantifica una “estructura” entre los datos: personas e ítems, por ejemplo, se puede afirmar que una persona de bajo rendimiento tiene una probabilidad baja de acertar a las preguntas difíciles, o que una persona de alto rendimiento tiene una alta probabilidad de acertar a las preguntas fáciles.

Estimación de Parámetros: Modelo dicotómico

La estimación de parámetros es el paso que nos permite llegar de las respuestas conocidas de las personas a los ítems, a los valores desconocidos de los parámetros de los ítems y de los niveles de rasgo de las personas.

Para la estimación de los parámetros se utiliza el método de máxima verosimilitud. Suponga, que n personas responden a k ítems, entonces se producirá una matriz de unos y ceros. En este caso, la función de máxima verosimilitud se puede escribir como:

L= \prod_{i=1} ^{k} \left( \prod_{j=1} ^{n} P_i(\theta_j)^{X_{ji}} \left( 1- P_i(\theta_j) \right)^{1-X_{ji}} \right)

\noindent donde: X_{ji} es el resultado observado para el sujeto j en el ítem i (1, acierto; 0, fallo). Al aplicar logaritmo natural a L y luego derivar con respecto a $late \theta$ y \beta e igualar a cero, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones normales:

\begin{cases} \frac{\partial Ln L}{\partial \theta_j} & = & \sum_{i=1} ^k \left\{ \frac{ X_{ji}+X_{ji} \exp(\theta_j -\beta_i)-\exp(\theta_j -\beta_i)}{1+ \exp(\theta_j -\beta_i)} \right\}=0; \hspace{5mm} j=1,2, \cdots , n \\<br /> \frac{\partial Ln L}{\partial \beta_i} & = & - \sum_{j=1} ^n \left\{ \frac{ X_{ji}+X_{ji} \exp(\theta_j -\beta_i)-\exp(\theta_j -\beta_i)}{1+ \exp(\theta_j -\beta_i)} \right\}=0; \hspace{5mm} i=1,2, \cdots , k<br /> \end{eqnarray}

No se obtienen expresiones expl\’icitas para los estimadores de los par\’ametros de los \’items y de los sujetos, por lo tanto, utilizar m\’etodos num\’ericos ( Newton-Raphson).

Para analizar los resultados obtenidos en el Test de Nuevo Ingreso (\’area Matem\’atica), Universidad de El Salvador(UES) 2007, se aplic\’o el modelo de Rasch. Se contaba con una matriz de datos de respuestas de 25 \’items o problemas de matem\’atica y 6,333 aspirantes a ingresar a la UES (Clave 1), sin embargo, para el an\’alisis se seleccion\’o una muestra de 500 aspirantes.

Resultados obtenidos: 1) Los aspirantes a ingresar a la UES, \’unicamente ten\’ian conocimiento de un 38\% del Test de Nuevo Ingreso, 2007; 2) El 90\% de los \’item del test tienen un nivel de dificultad medio o superior y no se distribuyen uniformemente; y 3) El nivel de conocimientos de los aspirantes a ingresar a la UES, en el \’area de matem\’atica se distribuye aproximadamente normal.

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% keywords and phrases %
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\noindent
{\bf Keywords:} {Rasch Model, item parameters, person parameters, item response function.
}

\noindent{\bf Palabras clave:} {
Modelo de Rasch, par\’ametro de \’item, par\’ametro de personas, funci\’on de respuesta al \’{i}tem.
}

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% “\bibitem”,o
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% Páginas”.
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\end{document}$

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